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行使数学的兴旺威力

原标题:行使数学的兴旺威力

本译文作者,李家春 、戴世强。

本文原载于《行使数学和力学》1980年创刊号

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行使数学思维是科研当中特意主要的一栽思维方式以及研究方法。今天吾们就借助戴世强教授的三篇相关行使数学的文章来详细晓畅一下这些题目:

什么是“行使数学思维”? 吾们如何在研究中行使行使数学思维? 行使数学思维如何掌握?

末了,吾们给出冯卡门在1943年创办美国《行使数学季刊》时,在这本期刊卷首刊登了一篇文章,名字是《用数学武装工程科学》。从这篇文章中能够看到哥廷根学派是如何看待工程科学以及行使数学的。

今天这篇文章的内容有些众。但幼编期待能有一篇文章详细的介绍行使数学相关的思维、历史及其在科学中的主要性。期待行家体谅。

第一篇:《行使数学思维》

前几天吾们谈了一些科研入门的仔细事项,从今天首,吾想与青年至交一首探讨自然科学研究中的常用方法和要领。就从阐述“行使数学过程”最先,吾认为这是从事理工科基础研究的一栽通例武器,一把利剑。文中对“行使数学过程”作清淡描述,并述及若干频繁展现的题目。

1978年,著名行使数学家、力学家林家翘教授(中科院外籍院士)挑出晓畅决实际题目的“行使数学过程”,吾在1979年他到访清华大学时第一次听他详细讲述了相关内容。他指出,在研究数理科学的实际题目时,频繁采用的方法为:

收集实验、不悦目测原料→竖立数学模型→发明数学工具或因袭已有方法解决模型中的题目→验证所得到的效果→总结出广大规律。

这就是所谓“行使数学过程”。自然科学中,很众基本规律的发现、解析和描述,都或众或少地行使了行使数学过程。

后来,Brown大学的谢定裕教 授到吾所讲学,谈及治学之道时,也讲授了这一行使数学过程。并用牛顿竖立三大定律为例子添以阐释,牛顿收集伽利略关于落体活动的实验效果和走星活动的不悦目测数据,稀奇是晓畅了关于走星活动的开普勒定律,对物体的活动与作用力之间的相关有了清亮的意识;在此基础上竖立了数学模型(物体活动方程):F=ma等;并发明了微积分,求得了活动方程的解;这些解在实验、不悦目测中得到了验证,末了总结出牛顿三大定律。这是一个完善的“行使数学过程”。1987年,谢定裕师长把上述看法写进了《流体力学》(南开大学出版社)的序言中了。

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在此后的研究生教学和本科生教学中,吾频繁向弟子们介绍了这一“行使数学过程”,在关于科研方法的讲座中,也包含了这方面内容。例如,在给研究生讲授流体力学时,吾消耗很众时间来阐明纳维-斯托克斯方程的导出过程,强调这是在流体力学中实践行使数学过程的绝好例子,稀奇是其中的数学建模的思路值得效仿。

在实走行使数学过程中,至关主要的是:掌握了有余的实验、不悦目测数据后,从盘根错节的形象中进走梳理、简化,掌握其中的内心要旨,竖立相符理和可解的数学模型,这是最为艰巨的做事。因此,吾们追溯牛顿的学术贡献时,频繁把他竖立牛顿三大定律放在最主要的地位。

经吾属意不悦目察,初涉科研的人们,有不少人不自愿地实走了行使数学过程,而且做得相当特出。如果说有不敷之处,主要题目是对行使数学过程意识不清亮和实走得不完善。正如谢定裕教授所指出的,“当代科学的快捷发展,已使一幼我很难自力完善某项有意义的做事的整个行使数学过程,……,因此,一幼我往往只能从事这一过程的一个或两个环节的做事,……。然而,吾们不该遗忘整个行使数学过程,答当明了行使数学过程各个环节的相对主要性。”

人们在实走行使数学过程中所展现的题目主要有:

1. 异国足够掌握所研究的题目的实验、不悦目测数据。尽管由于分工分别,吾们纷歧定亲历亲为地往作实验不悦目测,但必须经过各栽调研掌握必要的实际不悦目测原料,并进走仔细剖析,晓畅工程或科学题目的第一手原料,抓住其中的内心性的东西,为数学建模奠定基础;

2. 对于作因袭的数学模型不晓畅其源头。人们在科研中常行使现成的模型,但不少年青人对所用模型的来龙往脉不甚了了。例如,在流体力学研究中要用纳维-斯托克斯方程,但不晓畅这组方程赖以成立的基本伪设(三个内心的伪设、三个主要的伪设以及其它次要伪设),失踪臂实际情况拿来就用,往往会岀岔子;

3. 不善于自力建模。对有些题目,异国现成的模型可供借鉴,必须本身按实际题目来建模。不少年青人的建模能力较差,必要磨练(日后细谈);

4. 不偏重效果的验证。有些年青人给出了题目的解后就“开幼差”了,异国在效果的验证上下功夫,也就是说,无视行使数学过程的第四个环节。有些作理论分析的至交认为,吾已经给你解答了,效果的行使和验证是别人的事情。这栽想法很要不得,由于在求解过程中,你引进了各栽近似伪设,效果是否成立?何时成立?研究者必须义无反顾地给出清晰的说法。

5. 不偏重总结规律。吾们不是牛顿,能够总结不出牛顿定律那样的大规律,但总能发现一些幼规律吧!频繁见到年青人的习作中,把公式、数据、图外等逐一列出后就“溜之乎也”,这实在是一个坏习性,也往往会践踏了好做事、好效果。吾在笑乎博客中已众次挑及这一点。比来重读《李政道传》,吾发现,他在得到主要题目一些基本效果后,分析、商议、总结规律的时间甚至长于演绎效果的时间。

必须指出,“行使数学过程”是行使数学和力学界进步学者总结出来的一栽挑法,实际上在其它学科门类中能够有相通的挑法。吾们主要领会其中的精神内心。

总而言之,行使数学过程是理工科科学研究中的一栽通例武器,期待青年至交门好好体会、行使,而且在实践中逐渐形成卓异的科研习性。

迎接普及地进走商议。

第二篇:《如何竖立数学模型(一)》

在 昨天的博文中谈及了“行使数学过程”,清晰指出:在实走行使数学过程中,数学建模首了中央作用。行为数理科学的科研做事者必须学会数学建模,这是管用一辈子的本领。建模方法瞬休万变,吾这边只能讲一个梗概,要学会建模本事,必要再读一些著述,更主要的是边干边学,在建模中学建模。

本文概述数学建模的涵义、过程、分类和一个著名例子。

(1)数学建模的清淡涵义

数学建模——根据必要针对实际题目构建数学模型的过程,亦即,经过抽象和简化,行使数学说话对实际形象和实际题目进走近似刻画,以便于更深切地意识所研究的对象。

数学模型不是对实际体系的浅易的复制和模拟,而是经过对实际形象进走分析、挑炼、归纳、升华的效果,是以数学说话来正确地描绘实际对象的基本内在特征,从而经过数学上的演绎推理和分析,行使解析、实验(保持相通律成立)或数值求解。

整 个建模过程要仔细高瞻远瞩、抓大放幼,把握题目的内在内心。当研究题目有了正确的数学描述后,寻觅正当的数学工具分析求解。关于求解方法的改进方面,要尽能够使所用的方法精确化、详细化和周详化。必须结相符实例,就建模的正确性、有效性、可用性和适用周围进走实在的界定;对所产生的偏差和不确定性进走踏扎实实的分析;对所得的效果,必须从物理学视角和实际行使角度进走解读。

(2)数学建模的清淡过程

最先,基于一系列基本的简化伪设,把实际题目中的数学描绘清晰地外述出来,也就是说,经过对实际题目的分析、归纳、简化,给出用以描述该题目的数学挑法;然后采用数学的理论和方法进走求解,得出结论;末了再返回往阐释所研究的实际题目,总结清淡规律,即实现第一章中所述的“行使数学过程”,在数学理论和所要解决的实际题目之间构建一座桥梁。

详细来说,数学建模的步骤如下:

l 经过调研,掌握实际题目的背景原料。清晰研究对象(如物理题目、工程题目)和研究方针,晓畅相关的数据原料和基本原形(包括已有理论效果、不悦目察效果、不悦目测数据、实验原料等),挑出清亮的基本现在标,并在实际研究过程中随时准备一直修整预期现在标;

l 辨识并列出与题目相关的各主要因素。竖立基本伪设,简化所研究的题目。清晰模型中必须考虑的主要因素,展望、分析它们在题目中的作用,以变量或参数的形态外示这些因素。建模之初清淡答最大限度地简化题目,竖立最浅易的模型,然后一直调整伪设,挑出修整,使得模型尽能够挨近实际;

l 行使物理和数学知识和技巧竖立题目中变量之间的相关。清淡能够用离散的或一直的数学外达式来描述,例如:比例相关(如:牛顿粘性定律)、线性相关(如:广义牛顿粘性定律、胡克定律等)、非线性相关(如:非牛顿流体的本构相关、物理非线性原料的本构方程)、经验相关(如:逆映非平滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等)、输入输出原理(如:元胞自动机模型的演进规则)、均衡原理(如:炎动均衡规律、捕食者和猎物之间的相关等)、守恒原理(如:能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守 恒律等)、牛顿活动定律、微分方程或差分方程、矩阵相关、概率相关、统计分布等等(变量之间的相关纷歧定非要用方程来描述,只要能解决题目,可用各栽方法确定题目的物理量之间的相关,例如离散映射相关),从而竖立题目的数学模型。常见的外述各物理量之间的相关的有:代数方程,映射相关,差分方程,常微分方程,偏微分方程,积分方程,积分-微分方程等等;

l 进走参数辨识或参数标定。行使不悦目测数据或题目的相关背景知识,辨识出题目中的参数的推想值;设计特意实验,标定参数。参数识辨和标定频繁采用实测方法和数理统计方法。由于题目的参数识辨较为难得,因此成功的模型答该是浅易的,所涉及参数尽能够地少且容易识辨;

l 行使所得的模型,进走分析求解。采用各栽有效的数学工具求解所得到的数学方程等,然后,分析、注释模型的效果或把模型运走的效果与实际不悦目测进走比较,开展进一步的案例分析,验证模型的正确性;

l 总结清淡规律。对验证成立的数学模型进走总结归纳,尽能够上升到新的理论高度。

运作要点:

a. 掌握第一手原料;

b.抓住题目的主要因素;

c.竖立实在适答的模型;

d.比照实际。

(3)数学模型的分类

按数学外述的形态分:

一直模型; 离散模型;

按外述实在定性分:

确定性模型; 非确定性模型(随机模型); 同化模型;

按题目的求解步骤分:

正题目模型; 逆题目模型;

按数学物理工具分:

基于量纲分析的轮廓模型; 基于数据拟相符的经验模型; 基于守恒原理的方程模型; 基于均衡原理的机理模型; 基于运筹优化的规划模型; 基于网络分析的图论模型; 基于复杂性研究的层次分析模型等等。

(4)数学建模的经典范例

哥尼斯堡七桥题目——图论模型的典范

题目:哥尼斯堡城有一条河,现在用七座桥来连接河的两岸A、B和河中两岛C、D(如图3.2所示),试问:可否一次性不重复地走过这七座桥?

模型:1734年,Euler解决了这个题目。他把题目抽象简化为图论中的一笔划题目:数学上可表明:一笔划的基本请求是各点要有偶数条首迄路径,但是本题四点首迄路径均为奇数条,从而不走实现一笔划。即不及一次性不重复走过这七座桥。

以上对数学建模给出了一个概论,日后将一直予以强化叙述。

第三篇:《如何竖立数学模型(二)》

吾现在问至交们一个题目:吾们什么时候最先接触数学建模的?如果吾说,凡是上过一点学的人都或众或少地学过数学建模,你信吗?想一想,吾们上幼学时,在做稍稍复杂一点的数学行使题时,例如,著名的“鸡兔同笼”题目,就得经过较为浅易的数学建模来求解。到了中学,如许的例子就更众了。因此,吾们对数学建模不消有奥秘感。现在国内每年要举走各栽数学建模比赛,也使这栽奥秘感大大缩短。现在缺乏的是:在本科和研究生教学中,老师对数学建模的关注和引导不敷。

这边,引述钱伟长师长的一段话:“教学的过程,就在于让弟子搞清‘模型’的意义。由于‘模型’逆映的是事物的内心,是对客不悦目事物的近似描述。吾们要引导弟子挑出‘模型’,经过抓‘模型’,教给弟子一栽挑出题目、分析题目、解决题目的方法。”(钱伟长,跨越世纪,上海大学出版社,2002,165页)

随着当代科学的发展,各个学科周围相互交叉、融相符,稀奇是数理科学一直排泄到化学、生物学周围,科研中的建模显得越来越主要。

昨天的博文中,不详地讲述了自然科学研究中的数学建模题目。今天想举一个实际例子,来体会数学建模的过程。答博友的请求,试图简述流体力学中的基本方程——纳维-斯托克斯(以下简称为NS方程)的导出过程,这一过程本身就是一个绝好的建模过程。吾涉猎过不少流体力学教材,尤其是一些工程流体力学的教科书,其中往往把这一过程略过不挑,或者未做重点介绍,这实际上是屏舍了一个进走建模教学的卓异机会,也会使弟子难以掌握流体力学的精髓,更糟糕的是养成 “知其然,不知其因此然”的不良学习习性。

大体说来,推导NS方程可采取宏不悦目演绎方法和微不悦目-介不悦目演绎方法,前者采用一直介质伪设,经过限制体积或流体微团的分析,竖立一个完善的体系;微不悦目-介不悦目演绎方法采用统计物理方法,从速度分布密度所已足的波耳兹曼方程,经过对这一方程的各栽形态的取矩来导得NS方程。本文主要商议前者。

NS方程的孕育

吾们先来简要地回顾流体力学的发展史,主要为了晓畅NS方程的孕育过程。

公元前3世纪,阿基米德(287-212BC)发现浮力定律(阿基米德原理),标志着流体静力学的发端;1644年托里拆里(E. Torricell,1608-1647)制成气压计;导出幼孔出流公式;1650年帕斯卡(B. Pascal,1623-1662)挑出液体中压力传递的帕斯卡原理;1668年,马略特(E. Mariotte,1620-1684),出版专著《论水和其它流体的活动》奠定流体静力学和流体活动学的基础。

这时,社会发展产生了发展流体动力学的需求。马略特首次研究了流体产生的阻力;接着,1678年,牛顿(I. Newton,1642-1727)研究在流体中活动物体所受的阻力,并竖立牛顿粘性定律;1738年,丹尼尔·伯努利(D. Bernoulli, 1700-1782)出版《流体动力学》,将力学中的活力(能量)守恒原理引入流体力学,竖立伯努利定理(伯努利方程);1752年,达朗贝尔(J. le R. D′Alembert,1717-1783)挑出理想流体活动的达朗贝尔佯谬(即在无粘性流体中活动的物体不受阻力;1755年,欧拉(L. Euler,1707-1783)导出流体均衡方程和无粘性流体的活动方程,即欧拉方程,从而竖立了理想流体动力学。此时,粘性流体动力学已呼之欲出。

1763年,玻尔达(J-C. Borda,1733-1799)进走流体阻力试验,给出阻力公式,开了粘性流体动力学研究的先河;1777年玻素(C. Bossut,1730-1814)等完善第一个船池模型试验,十足确认了流体中活动物体与速度的平方成正比的结论;接着,迪比阿(P. L. G. Du Buat,1734-1809)做了更详细的研究,写成《水力学原理》。

以上工行为NS方程的导出在实验上和理论上奠定了基础。1822年,纳维(C-L-M-H. Navier,1785-1836)引进一直介质伪设,采用流体分子活动的不悦目点,工程案例考虑了分子间的相互作用(宏不悦目地外现为粘性),导出粘性流体动力学的动量方程;1845年,斯托克斯(G. G. Stokes,1819-1903)竖立了更为实在的粘性流体的一直介质模型,引进了两个粘性系数,更简洁厉谨地导出粘性流体动力学的动量方程(纳维-斯托克斯方程)。现今的流体力学教科书就基本上采用了斯托克斯的外述形态。

相关上述历史的细目可参看武际可:《力学史》(上海辞书出版社,2010,231~244页)。

导出NS方程的基本伪设

经过梳理之后,吾们晓畅,导出NS方程采用了如下基本伪设:

1) 牛顿力学伪设成立。只商议流速远幼于光速和特征长度宏大于原子尺度的情形(Einstein数远幼于1,V为特征速度,c为真空中的光速),即不考虑相对论效答和量子效答;相对论流体力学和量子流体力学别离计及这两栽效答,不在这边商议;

2) 一直介质伪设成立。仅考虑Knudsen数(即流体的分子平均解放程远与题目的特征长度之比)远幼于1的情形,每一宏不悦目幼、微不悦目大的流体微团里含有有余众的流体分子,微团周详地排列着。稀薄气体动力学考虑Knudsen数近于或大于1的情形;在微起伏题目中也会展现这一题目;这边不予研究。

3) 炎动均衡伪设成立。认为活动的流体微团处于炎均衡,即分子活动趋于均衡的弛豫时间远幼于题目的特征时间;

4) 炎力学第一、第二定律成立(即能量守恒律和熵添定律成立);

5) Helmboltz速度分解定理成立(速度=平动速度 转动速度 变形速度);

6) 广义牛顿粘性定律成立。伪设活动流体中的剪切答力等于流体答变率分量的齐次线性组相符(含广义粘性系数81个)。考虑此定律不走立的情形属于非牛顿流体力学周围;

7) 流体各向同性伪设成立。于是,广义粘性系数从81个削减为2个;

8) Stokes伪设成立。即伪设流体的第二粘性系数(体积粘性系数)为零,不考虑流体压缩或膨大中的粘性阻滞效答;

9) 活动流体中温度不是很高且无急剧转折。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。能够认为温度不太高,不会产生电离和离解形象;

10) 流体均质伪设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效答。

以上各伪设中,前五个是内心的,第六、七个伪设频繁是必需的,后三个伪设则是非内心的,视情况必要,能够屏舍(即存在体积膨大、存在高温区或电离区、流体非均质——分层流体)。一言以蔽之,纳维-斯托克斯方程适用于非相对论性的、密度有余高的、各向同性牛顿流体活动的描述。在无视体积粘性系数,伪定温度无剧变(即可伪定粘性系数为常数)且流体为均质时,方程的形态较为浅易。

因此,吾们在科研中要行使NS方程时,最先答考虑其成立的伪设是否成立。比方说,在研究微电子器件相关的流体力学题目,就必要慎之又慎。

还答仔细,狭义地说,NS方程指的是粘性流体活动的动量方程;广义地说,也可包括质量守恒方程(一直性方程)、能量守恒方程(能量方程),这边采用广义说法,实际上商议的是流体动力学的基本方程。

NS方程的宏不悦目推导

吾们答该晓畅,推导NS方程的起程点是物质的基本守恒律——质量守恒、动量守恒、能量守恒定律;为了使方程简约、可解,还必须辅以流体的本构方程,NS方程清淡采用广义牛顿粘性定律为本构方程,这是基于实验的牛顿粘性定律的推广形态。自然,为了使方程组有封闭形态,还要辅以炎力学中关于流体的状态方程。这边只谈一直性方程、动量方程和能量方程的宏不悦目推导。

如所周知,科学方法论中的推理形态主要有两栽:归纳推理和演绎推理。前者从稀奇到清淡,后者从清淡到稀奇。力学做事者更习性于归纳推理。

先说归纳推理形态。基本思路是:从流体某个体积中质量、力和能量的动均衡。当这一体积很幼时(即取为体积元时),响答的方法就是微元法;当这一体积为有限大幼时,响答的方法就是限制体积法。若所取的体积是固定的,就对答于流体力学中的欧拉外述思路;若所取的体积随流体活动时,就对答于流体力学中的拉格朗日描述。因此,每个方程有四栽推导方法。

在写得好的工程流体力学教科书中,清淡采用与直角坐标的坐标面平走的幼立方体做体积元。以推导动量方程为例。采用如下的动均衡方程:

体积元内的动量转折率=从各个外貌流出的动量+体积力+面力(压力梯度与剪切答力)

这是流体力学中行使牛顿第二定律的外示。

按上述思路,能够导出一直性方程、动量方程和能量方程。它能够有微分形态和积分形态;能够在直角坐标来外示,也可用弯线坐标来外示。(详见吴看一:《流体力学》(上册),北大出版社,1989)。

再说演绎推理形态。先竖立一个抽象的量在某个活动体积的转折和输运过程,竖立一个清淡的定理,现在通称为雷诺输运定理,然后以单位体积的质量(即密度)、动量和能量代入,别离导出各个守恒方程。(详见刘答中、缪国平:《高等流体力学》,上海交大出版社,2002,第一章)。

进一步建模的“减法”和“添法”

有了NS方程或流体力学基本方程组之后,若碰到更浅易的情况,就可采取“减法”来建模。例如,NS方程中往失踪粘性项之后,就成了欧拉方程。如此等等。

如果碰到更复杂的情况,则采用“添法”,例如,要研究地球流体力学题目,考虑到地球是一个非惯性系,必须在动量方程中添上科氏力项;再如,若要研究湍流,由于存在脉动项,经过雷诺平均后,就可导得RANS方程。这时展现了方程不封闭性题目,就得引入别的伪设和方程内心封闭。

从NS方程导出得到的启示

限于篇幅,这边无法涉及细节,甚至来不敷说到NS方程的微不悦目-介不悦目推导,不过吾们已可得到一些启示:

——数学建模答竖立在已有知识的基础上;

——建模须从第一原理起程;

——对于复杂题目的建模必须挑出相符理的伪设,这些伪设大众有郑重的实验和理论依据;

——能够采用众栽推理凡是和数学形态来建模。

这篇博文的内容稍稍专科一点。看不懂也异国相关,能够略过不读。

吾仔细到,这一系列博文的读者中不光有青年至交,而且有一些资深学者,迎接行家增添、指正。

写于2010年10月4日

第四篇:冯卡门《用数学武装工程科学》

人们常说,研究数学的主要方针之一是为物理学家和工程师们挑供解决实际题目的工具。从数学的发展史看来,原形很清新,很众庞大的数学发现是在晓畅自然规律的迫切请求下答运而生的,很众数学方法是由主要对实际行使感有趣的人竖立的。然而,每个纯粹数学家都会感到,把数学研究限制于考察那些有直接行使的题目,对这位“科学的皇后”来说未免有点不偏袒,原形上,这位“皇后”的虔敬的膜拜者对于把他们的女主人贬黜为她的比较偏重实际的、暂时较为显耀的姐妹的“侍女”,频繁感到忿忿不屈。

这就不难理解为什么数学家和工程师持有争吵不竭的不相符偏见了。两栽做事的代外人物不止一次地外示了这栽不相符偏见。

数学家:吾在坚实的基础上建造了一座大厦——建 立在清晰的公设上的定理体系。吾深入分析了逻辑思维过程,确定是否存在能够认为是正确的(起码是能够正确的)的论述。吾所关心的是,由吾本身的思维实在定义的事物之间的函数相关,以及使吾得以探索这栽函数相关的栽栽方法,如果你们发现吾所竖立的概念、逻辑过程或方法能用于你们的平时做事,那吾自然感到安慰。吾得到的一切效果任凭你们处置,但是得让吾按本身的方式来探求本身的现在标。

工程师:你们的老进步,那些宏大的数学家,他们的偏见同你们可纷歧样。难道欧拉不是既致力于纯粹数学方面的发现,又从事工程装配的理论研究吗?涡轮机、柱的屈弯和打桩的基本理论方面,都有着欧拉的贡献。数学分析的发展是同物理学的发展稀奇是力学的发展分不开的。很难设想,要是异国为计算活动物体轨迹寻觅数学工具的迫切请求,人们的头脑中会孕育相关微分方程的概念。伪设吾们伪定活动由某些基本的力学相关和几何相关确定,而这些相关在活动的每一瞬休都成立,就会自然而然地产生微分方程的概念。还有,变分法也主要是为解决物理题目而竖立的,未必解决这些题目本身就是方针,未必是为了实际行使。十八世纪和十九世纪的前几十年能够是数学科学蒸蒸日上的黄金时代,当时,纯粹数学与行使数学之间异国清晰的界线。行家们把逻辑思维和直不悦目创造力结相符首来,竖立了一系列方法和定理;大功告成之后,进走抽象思维的数学家着手致力于弥补逻辑推理方面的某些不敷之处,把前暂时期行家们的丰硕收获添以编纂,使之体系化。

数学家:吾觉得你矮估了你所说的体系编纂做事的主要性。为了保证正确地行使微积分学和微分方程理论,绝对有必要精确地定义吾们所说的极限过程,给出像无穷幼、无穷大如许的术语的真实涵义,你说对偏差呢?你也许不及把伽利略称为抽象数学家或纯粹数学家吧!能够你还记得,正是伽利略指出了把十分和不等的不悦目念行使于无穷量时一定会展现的矛盾。他仔细到,你能够说整数比其平方数的个数众,由于每个平方数都是整数,但整数不全是平方数;你也能够说,平方数和整数的个数相通,这同样也是相符理的,由于每一个整数对答着一个平方数。可公度性、可数性、一直统的逻辑分析、荟萃论以及近代的拓扑学,这些不悦目念的竖立是人类思维发展的关键步骤;其中有很众是异国自愿地考虑物理行使而自力地构想出来的。但是,即使从行使的角度看来,也有必要添固吾们本身的大厦的基础,也就是说,改善数学的逻辑组织。对级数拘谨性条件(即批准进走逐项微分和积分的条件)不作精确的分析,谁也不走能有把握正确无误地行使级数。在具有想象力和直不悦目先天的人们完善主要做事之后,再最先寻求新发现的牢固基础,这是一栽不正确的倾向。达朗贝尔就已经请求把微积分学竖立在极限论的基础上了;按你的看法,柯西,勒让德和高斯无疑在富有创造性的数学先天之列,他们为数学从直不悦目到厉格的过渡做出了卓有奏效的贡献。十九世纪后半叶,数学一直朝着当时的数学家(也许是笑不悦目地)认定的十足相符乎逻辑和绝对厉格的宏大现在标向前发展。然而,除了阐明基本原理之外,谁人时期也为行使数学的发展开辟了新的道路。比如说,你挑到了微分方程,你们工程师从这一数学分支得好非浅。复变函数理论、微分方程按奇性的分类以及对这些奇性的研究,都是在你所说的体系编纂时期内发展首来的,难道你不认为这些正是竖立微分方程这一数学分支的特意主要的步骤吗?这些理论把经过试凑求解微分方程的原首方式变成了周详晓畅整个周围的体系的方法。

工程师:吾批准你的不悦目点,尤其是关于复变函数论的不悦目点。实在,保角变换是解决众数物理题目的一栽最有效、最柔美的方法。吾也批准你关于奇性分析具有根本主要性的看法。原形上,在非正则奇点附近,吾们所用的图解法和数值解法一定会失效或未便于行使,从而必须求助于解析方法。不过遗憾的是,你们数学家有点像对人体疾病比对人体平常功能规律更感有趣的大夫,或者像关注人类思维病理变态而不往研究平常思维过程规律的心思学家。大众数情况下,吾们必须研究“性质卓异的函数”,期待有实用的方法相当有效地确定它们在某些待定情形中的性质。

数学家:难道你们不会行使吾们挑出的求解微分方程和积分方程的清淡方法吗?如果它们的解由如你所说的“性质卓异的函数”给出,那么吾看不出还有什么了不得的难得,也不晓畅你们还要吾们干些什么。

工程师:你们的清淡定理处理的众数是解的存在姓休争法的拘谨性,你能够记得亥维赛说过的俏皮话:“遵命数学家的偏见,这个级数是发散的;因此,吾们也许能够拿它来派点用场。”你们劳师费功、绞尽脑汁来表明解的存在性,而吾们从物理上看来,这一点是一现在了然的。你们很少消耗精力来寻觅和商议实际有效的解;即使如许做了,众数也只是限制于浅易情形,比方说,商议涉及几何形状浅易的物体的题目。吾来谈谈所谓稀奇函数。吾承认数学家研究过很众栽稀奇函数,把它们的数值列成了外,对它们的级数展开式和定积分外示式已经作了详细研究。怅然,这栽函数在工程中行使周围有限。物理学家在探索基本定律时能够选择几何形状浅易的试件作实验研究;工程师却不得不直接处理形状复杂的组织,他不及仅仅由于一栽组织几何形状浅易,答力分布可用稀奇函数算出,就退而采用这栽组织。而且,大众数稀奇函数仅适用于线性题目。以前,为了浅易首见,物理学家和工程师往往把他们的题目添以线性化。数学家爱这栽简化,由于它使柔美的数学方法大有效武之地。遗憾的是,随着工程科学向前发展,人们必要得到较为精确的数据和进一步挨近物理实在性,这就迫使吾们想方设法往解决很众非线性题目。

数学家:嗯,很众当代数学家对于非线性题目极感有趣。看来,你们迫切必要的是发展正当的近似方法。不过,你对吾们表明存在性的指斥是不正确的,当代数学中很众存在性的表明远远超过了直不悦目的周围。吾也晓畅,你们工程师特意成功地行使了各栽迭代方法,譬如说,要表明一个边值题目的存在性,吾们也频繁采用迭代法,换句话说,吾们跟你们相通,实在也组织了一系列近似解,唯一的区别在于你们只是伪定迭代过程能够产生唯一的解,而吾们表明了这一点。还有,在吾看来,你们用于解弹性力学和组织力学题目的所谓“能量法”,与变分学中的直接方法亲昵相关,吾指的是,不解欧拉-拉格朗日微分方程,而直接组织有给定边值的极幼化函数的方法。吾觉得,在纯粹数学分析与行使数学之间毕竟存在很众共同之处。

工程师:吾并不否认这一点,原形上,吾一向认为,分析是行使数学的支撑。不过,要是你真实着手把分析行使到实际情形中往,你就会看到,从掌握一栽近似方法的清淡概念到成功地行使这栽方法,还有很众做事要做。比方说,存在着可资行使的时间和人力的题目。做某些类型做事时,吾们能够用巧妙的死板装配或电动装配,像微分分析仪或电动计算机之类。然而,在大众数场相符下,吾们必须不借助于这栽方法进走计算,这时,光晓畅近似过程的拘谨性就不够了,吾们还得确定用哪一栽方法能在最短的时间内得到具有给定近似程度的解,必须对逐次近似所改进的实在度做出正当的推想,一切这些实际题目请求吾们进走艰苦的实际研究。吾认为,吾们实在必要数学家的协助,来改进吾们的直不悦目方法,也许没相关说,对吾们的直不悦目方法添以评论和体系化。原形上,要把数学成功地行使到于工程题目,必要数学家和工程师的亲昵配相符。在外貌上截然分别的周围里找出行为它们基础的共同的数学相关,这决不是一件易如反掌的事。打算搞行使数学研究的数学家必须对所涉及的物理过程有相当透澈的晓畅。另一方面,为了正当地行使数学工具,工程师必须深入研讨数学分析的基本原理,并达到相当高的程度。把一堆机床杂乱无章地拼集首来,成不了一个高效果的金工车间。吾们晓畅,在你们的数学宝库里有着特意管用的机床,摆在吾们眼前的义务是要懂得如何调整、行使它们。

数学家:吾觉得你的话有点道理。把你的譬喻引伸一步,为了成批解决工程题目,你们还必要机床设计师——真实的行使数学家。他们的原有经历能够是各栽各样的:能够来自纯粹数学界、物理学界或工程科学界,但他们的共同现在标是为工程科学挑供数学工具。

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